Chapitre 10. La physique – 2. La Relativité générale

La Relativité générale est la théorie énoncée par Einstein, de l’espace-temps. Elle présente sous un jour complètement nouveau la question de la gravitation : La gravitation n’est rien d’autre qu’une courbure de l’espace-temps.

La mécanique quantique travaillait dans un espace absolu, plat qui est celui de la relativité restreinte. On arrive ici, au niveau macroscopique, a un tout autre espace : à 4 dimensions).

a. La gravitation.

Newton découvre la gravitation comme une force agissant à distance entre tous les objets massifs (corps terrestres ou célestes) en raison de leur masse et en raison inverse du carré des distances qui les séparent.

                                                                           F = M.M’ / d²

Cela veut dire que la force correspond à une accélération de la masse. P (qui est une force exprimée en Newton) = m.g. C’est un cas particulier d’un phénomène plus général, puisque g n’est qu’une forme d’accélération particulière (celle de la pesanteur terrestre).  F = m.a.

Du coup, il y a égalité entre la masse grave (M ou M’) détectée par son poids (P) et la masse inerte ou inertielle (m) détectée par sa résistance au mouvement (inertie).

Remarque. Au passage, il faut lever une erreur courante. Supposons qu’on substitue à la Terre une boule de pétanque, voire un grain de sable, leur mouvement autour du soleil en sera-t-il changé ? Non ! Le mouvement d’un corps dans un champ de gravitation ne dépend pas de sa masse. En effet, la masse (de la Terre) qui évolue dans un champ de gravitation (du soleil) subit une force d'attraction gravitationnelle mais n'influe en rien sur ce champ. Le champ de gravitation ne dépend en rien de la masse qui s'y trouve prise. 

C’est ce que veut dire que tous les corps tombent à la même vitesse dans le vide, quelle que soit leur masse. La gravitation, c’est seulement qu’ils tombent. On va voir que c’est justement cette indépendance du mouvement par rapport à la masse qui est à l’origine de la théorie de la Relativité générale.

[On prendra soin de distinguer champ gravitationnel et champ de pesanteur. Ils ne sont pas rigoureusement identiques. Ce dernier est créé par la modification que la masse de la Terre fait subir à l'espace dans son voisinage (champ gravitationnel) mais est influencé par le fait que, la Terre tournant sur elle-même, les objets qui se trouvent dans son champ de gravitation ne subissent pas une attraction rigoureusement dirigée vers le centre de la Terre. (à cause de la force centrifuge]

Le problème de ta théorie newtonienne, c’est cette mystérieuse  action à distance de la force. C’est aussi qu’il faut imaginer un éther pour rendre compte de la propagation de l’onde lumineuse dans le vide, c’est-à-dire pour permettre aux équations de Maxwell sur l’électromagnétisme, de fonctionner. C’est enfin un bug dans le calcul du mouvement de Mercure dont on ne sait pas rendre compte de l’avance du périhélie.

b.  Gravitation et accélération

Newton avait reconnu l’égalité entre masse inerte et masse grave, (principe d’équivalence faible). Einstein va aller plus loin. On ne peut pas faire la différence entre les deux (principe d’équivalence forte).
Le satellite Microscope du CNES qui a été lancé le 22 avril 2016 devait, en autres choses, tester ce principe d'équivalence avec une précision dans la mesure de 10^-15, donc bien meilleure que celle possible sur Terre (où elle est tout de même de 10^-13). Deux masses, l'une de titane, l'autre de platine, placées dans le satellite, devaient suivre la même chute libre et rester immobiles l'une par rapport à l'autre lors d'une même accélération. Le 4 décembre 2017 a vu la publication du résultat de cette expérience : le principe d'équivalence en ressort conforté ... Pour le moment, car l'expérience se poursuit à des niveaux de précision toujours plus grands.

Qu’un individu, enfermé dans une cabine sans hublot, posée au sol, immobile, lance une boule, celle-ci suit une trajectoire parabolique avant de se trouver au sol. Qu’un autre individu, dans une cabine également sans hublot, mais propulsée dans l’espace, vers le haut, avec une accélération  (a)  égale à g, lance une boule, elle suivra exactement le même trajet. Aucun des deux ne pourra dire s’il est en mouvement ou immobile et les expériences réalisées dans les deux cabines donneront exactement les mêmes résultats. Un champ dirigé vers le bas ou une accélération dirigée vers le haut aboutissent au même résultat. Référentiel accéléré ou champ de gravitation, c’est la même chose.

 

Précision : la masse inertielle (m_i) d’un corps définit, pour un corps, sa résistance au changement de son mouvement. S’il est au repos, elle tend à ce qu’il y reste. S’il est en mouvement, elle tend à ce qu’il conserve sa vitesse, sa direction et son sens. La masse inertielle s’oppose à l’accélération. 

La masse gravitationnelle (m_g) est un coefficient mesurant la relation d’un corps à un champ gravitationnel qu’il crée et/ou subit. 

Dans la chute libre, dire que tous les corps (quelle que soit leur masse) tombent à la même vitesse (en réalité : avec la même accélération), c’est dire que la résistance au changement (inertie) est plus grande pour une masse grave plus importante (elle tend à s'opposer à l'accélération) et moindre pour une masse grave moindre (elle s'y oppose moins). La différence de poids entre les deux corps en chute libre est, du coup, annulée. C’est donc dire que les deux masses (inertielle et grave) sont égales.

On montre d’ailleurs expérimentalement que dans  a =  (m_g / m_i)g, le rapport (m_g / m_i) est bien égal à 1, de sorte que a = g. (a  est le vecteur accélération et  g le vecteur gravité)

Ou encore : dans la chute libre, l’accélération de la pesanteur me fait perdre mon poids. Tant que je tombe je ne sens plus en effet la "force" de gravitation (celle-ci ne m’est sensible que par la force qu’exerce le sol sur moi pour m’empêcher de tomber !). De fait, la force d’inertie d’entraînement   f_ie = - m_i.a. compense exactement la force gravitationnelle  p = m_g.g.

[Qu'est-ce que la chute libre dans la théorie de la relativité générale ? C'est, pour un objet, le fait de décrire simplement une géodésique de l'espace-temps déformé par la présence d'une masse (ou d'une énergie): la géodésique (le trajet parcouru sur un espace courbe) qui s'apparente le plus à une ligne droite, dans cet espace courbe. Comme dans un champ de gravitation le mouvement d'un corps ne dépend pas (on l'a vu) de sa masse mais des propriétés du champ, deux corps de masses différentes (planète, boule de pétanque, grain de sable) suivront exactement la même géodésique (= tomberont à la même vitesse)].[Il faut comprendre qu'il n'y a pas, à proprement parler, d'attraction ; le corps qui se déplace le fait simplement en suivant la courbe infligée à l'espace par la proximité d'une masse ou d'une source d'énergie].

Masse inertielle et masse gravitationnelles sont bien deux choses distinctes, mais égales. Cette équivalence est de l'ordre du fait, pas de la logique. Si elles ne l'étaient pas, nous serions dans un autre monde, gouverné par une autre physique.

[Remarque : Cette découverte est essentielle car elle montre qu’il existe donc un référentiel, distinct du référentiel inertiel galiléen, où les effets de la gravitation disparaissent : c’est le référentiel en chute libre. Ce qui s’y passe est indépendant de l’état de mouvement du référentiel.

Le principe d'inertie (première loi de Newton) qui énonce qu'un corps isolé de toute action extérieure est soit au repos soit en mouvement rectiligne uniforme (c'est-à-dire non accéléré ou freiné) n'est vrai que dans des référentiels inertiels (ou galiléens), c'est-à-dire dans des référentiels en translation rectiligne et uniforme (sans accélération) les uns par rapport aux autres. Or, il n'est pas possible de construire des référentiels non accélérés, puisqu'ils sont soumis à l'accélération de la pesanteur. Il faut donc effacer l'effet gravitationnel. C'est ce que permet la chute libre. Quand je tombe, mon corps ne pèse plus ! Les référentiels qui éliminent la gravitation (chute libre) sont aussi des systèmes inertiels dans lesquels, donc, les lois de la relativité sont valables.

 Ce référentiel est indispensable pour étudier, justement, les effets de la gravitation (par exemple, sur le champ électromagnétique, etc.). Le référentiel simple n’est plus le référentiel galiléen (celui du laboratoire), c’est celui qui est en chute libre. Pour étudier la physique dans le référentiel du laboratoire, je vais devoir l’étudier d’abord dans le référentiel en chute libre puis opérer un changement de référentiel. Par exemple, si je veux décrire le mouvement d’une géodésique dans une région soumise à la gravité, je commence par décrire ce mouvement dans un référentiel en chute libre.] 

[Attention cependant ! Le référentiel en chute libre est opérationnel quand on travaille en présence d'un champ gravitationnel. Mais, un tel champ n'est jamais uniforme. Le référentiel en chute libre est donc local I.

Le principe d’équivalence établit donc que, pour des positions et des vitesses initiales identiques, un grain de sable, la Terre, une boule de pétanque décriront autour du soleil la même orbite. Ce qui veut dire que l’accélération ne dépend pas de la masse de l’objet accéléré.

Il résulte de cela ce qui va faire le fondement de la théorie de la Relativité générale : le mouvement dû à l’attraction gravitationnelle possède donc un caractère absolu dû au fait que la masse n’intervient en rien dans la détermination de ce mouvement. Or, si ce mouvement a un caractère absolu, cela signifie qu’on peut le décrire en termes purement géométriques.

Einstein va donc géométriser (évidemment dans un espace non euclidien) la gravitation. La gravité n’est plus une force, mais une déformation géométrique de l’espace(-temps).

Cette déformation provient du « contenu » de l’univers : matière, énergie, rayonnement. En somme, l’espace-temps dit à la matière (à l’énergie, au rayonnement) comment se déplacer (c’est ce qu’on voit quand on lit de gauche à droite l’équation du tenseur d’Einstein...

où le premier terme de l'équation représente la courbure de l’espace-temps)

... et la matière, l’énergie, le rayonnement disent à l’espace-temps comment se courber (c’est ce qu’on voit quand on lit la même formule de droite à gauche :

 
 (le côté droit de l'équation représentant le contenu masse/énergie de l’espace-temps).

Tous les objets avancent en ligne droite à une vitesse constante, sauf que l’espace est courbe, rempli de creux et de bosses !

S’il en est ainsi, même la lumière soumise à l’interaction électrostatique, doit être déviée par un champ gravitationnel. On vérifie là encore que la gravitation est, pour un objet qui se déplace, sans rapport avec sa masse, puisque le photon, de masse nulle, est soumis aux effets de la gravitation.  C’est ce que prédit Einstein et qui est vérifié lors de l’éclipse solaire du 29 mai 1919 par un effet de lentille gravitationnelle (voir plus haut) : une étoile dont on connaît la position derrière le soleil, apparaît à côté (Einstein en avait prédit l’angle avec juste une erreur de calcul, parce qu'il ne possédait pas encore les équations appropriées !). En fait, le passage du rayon de lumière est dévié par la déformation de l’espace que la masse (ou plutôt la densité qui est le rapport de la masse au volume) du soleil imprime à l’espace.

 

c. L’espace-temps.

a. L’espace-temps, c’est la totalité de l’espace à tous les instants de l’univers. On mesurera la distance (espace) d’une étoile en comptant le nombre d’années (temps) qu’il faut à la lumière qui en émane pour parvenir jusqu’à nous.

La notion d'année-lumière effectue la synthèse de l'espace et du temps : c, la célérité de la lumière, est une vitesse, donc un rapport espace (parcouru)/temps(mis à le parcourir). Le soleil, par exemple, est situé à 8,20 minutes (temps) lumière puisque la lumière met 8,20 minutes à nous parvenir. Ce faisant, elle a parcouru (espace) 149 000 000 km. Pourquoi ne pas le dire tout de suite ? Simplement parce que, pour calculer la distance de la Terre par rapport au Soleil, on mesure le temps que la lumière met à faire le trajet. 

[En réalité, la mesure de cette distance, tentée depuis Ératosthène, 2ème s avant JC, a été réalisée avec plus ou moins de succès, principalement par des processus mathématiques (mesure des parallaxes pour les astres proches) et astronomiques (utilisation des céphéides, pour des astres plus lointains), enfin mesure du redshift pour les plus éloignés ; il n'en reste pas moins que c'est en années-lumière que s'exprime le résultat de ces mesures, comme si le calcul avait été effectué comme indiqué].

On appelle ligne d’univers la trajectoire des objets dans l’espace-temps. Soyons précis : le trajet suivi par un objet dans l’espace(-temps) est une géodésique. La ligne d’univers (la trajectoire) est autre chose. Ma ligne d’univers est constituée de la suite des événements dont le premier est ma naissance et le dernier, ma mort. Cela n’a rien de spatial : c’est une trajectoire temporelle. Compliquons : un objet qui se déplace dans l’espace (géodésique) le fait aussi dans le temps (il lui en faut pour parcourir cet espace). Il a donc aussi une ligne d’univers.

Les schémas ci-dessous, décrivent (seulement en 3 dimensions !) ces lignes : le premier compare dans un espace plan un mouvement uniforme (rectiligne) et un mouvement accéléré (courbe, puisque c’est un rapport temps-espace). Cette courbure est seulement spatiale. Le second décrit un mouvement uniforme dans l’espace temps. Le troisième un mouvement accéléré négatif (décéléré) dans l’espace-temps. Le quatrième un mouvement accéléré (donc en rotation) dans l’espace-temps (la spirale s’aplatit quand l’accélération croît (moins de temps pour parcourir un espace), s’écarte quand elle décroît (plus de temps pour parcourir un espace). Le cinquième montre le mouvement par exemple de la Terre autour du soleil dans l’espace temps. La flèche montante est la ligne d’univers du soleil (la succession de ses positions dans le temps, sa trajectoire temporelle), la spirale, la ligne d’univers de la Terre.

Qu’est-ce qui fait que l’accélération courbe ainsi l’espace ? C’est mal poser la question. Il faut aller en sens inverse : un objet (particule, planète, étoile, galaxie, etc.) se déplace toujours en ligne droite. Mais, une masse (ou plutôt une densité, c’est-à-dire un rapport masse/volume) courbe l’espace qui la sous-tend. Quand un objet parvient à proximité de cette masse, il chute dans la cuvette puis il remonte la cuvette: sa trajectoire s’est courbée.

 

Si la cuvette est suffisamment profonde et/ou si la vitesse de déplacement de l’objet est relativement lente (elle l’est d’autant plus que l’objet est massif), la trajectoire finit circulaire (ou elliptique), à la manière d’une bille de roulette, l’objet n’ayant pas la vitesse suffisante pour remonter. Plus exactement, l'objet continue à évoluer en ligne droite, c'est l'espace, c'est la droite qui se courbe. Mieux, si la masse qui déforme l’espace est « supermassive », tout objet qui arrive dans le creux est entraîné vers le fond sans pouvoir remonter la pente. C’est ce qui a lieu dans les trous noirs dont la lumière elle-même ne parvient plus à s’échapper (voir plus loin).

On voit ci-dessous, comment la Lune est prise dans le creux que la masse de la Terre imprime à l’espace. On voit même, ci-dessous, comment l’espace lui-même tourne avec la Terre, accentuant « l’attraction » sur son satellite. (Que la Terre tourne sur elle-même vient d’avant même sa formation, du tourbillon des poussières qui se sont agglomérées pour la former).

La matière (la densité de matière ou d’énergie, c’est tout un puisque  E = m.c²) change donc la géométrie de l’espace qui l’entoure.

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De tout cela, il résulte que pour la première fois l’univers est devenu un objet physique avec ses propriétés propres et qu’on va pouvoir l’étudier pour lui-même. La cosmologie scientifique est née. Bien qu’Einstein le refuse jusqu’aux années 30 quand Hubble découvre la fuite des galaxies, l’univers peut même avoir une histoire. Pas l’histoire des objets qui le peuplent, mais son histoire à lui. En un mot, quand Hubble croit que les galaxies s’éloignent les unes des autres dans l’espace, il n’y a pas encore d’univers. Il y a une fuite des objets célestes. Lorsque Lemaître applique la relativité à cette découverte, l’univers apparaît : c’est lui, l’espace-temps qui se dilate et fait que les galaxies sont plus loin les unes des autres aujourd’hui par rapport à hier.

L’astrophysique, fera la théorie et rendra compte de l’histoire des astres.

La cosmologie  rendra compte de l’histoire de l’univers.